rationale
"rationale" rezultate au fost gasite 6
Electronica industriala |
|
CUPRINS
PREFATA........................................................................................................8 INTRODUCERE............................................................................................10 1. DISPOZITIVE SEMICONDUCTOARE...............................................13 1.1. Conductia electrica la semiconductoare.........................................13 1.2. Procese în jonctiunea p-n ...............................................................16 1.3. Diode semiconductoare ..................................................................19 1.4. Tranzistoare bipolare......................................................................21 1.5. Caracteristicile si parametrii tranzistoarelor bipolare ....................25 1.6. Tranzistoare cu efect de câmp........................................................28 1.6.1. Tranzistoare cu efect de câmp cu jonctiune p-n (TEC-J).......28 1.6.2. Tranzistoare cu efect de câmp cu poarta izolata (TEC-MOS)30 1.7. Tiristoare ........................................................................................32 1.8. Caracteristicile functionale ale tiristoarelor ...................................35 1.9. Circuite integrate ............................................................................37 1.10. Dispozitive semiconductoare optoelectronice............................41 2. REDRESOARE DE MICA PUTERE PENTRU CURENT MONOFAZAT...............................................................................................44 2.1. Schema bloc a redresorului ............................................................44 2.2. Redresoare monofazate cu sarcina activa.......................................45 2.3. Redresoare monofazate cu sarcina inductiva .................................48 2.4. Filtre pentru redresoare de mica putere..........................................51 2.5. Functionarea si calculul redresorului cu filtru capacitiv ................53 2.6. Caracteristicile externe ale redresoarelor de mica putere...............57 2.7. Stabilizatoare de tensiune...............................................................58 2.8. Surse de alimentare cu transformarea multipla a energiei .............62 3. CONVERTOARE DE MEDIE SI MARE PUTERE.............................64 3.1. Utilizarea convertoarelor în energetica si electrotehnica ...............64 3.2. Redresorul monofazat comandat....................................................65 3.2.1. Functionarea redresorului comandat monofazat în sarcina activa (LS = 0).........................................................................................65 3.2.2. Regimul de curent intermitent la functionarea în sarcina activ-inductiva........................................................................................67 3.2.3. Regimul de curent fara întrerupere la functionarea în sarcina activ-inductiva........................................................................................68 3.2.4. Comutarea curentului la redresoarele comandate monofazate .............................................................................................69 3.3. Invertorul dependent monofazat.....................................................71 3.4. Redresorul trifazat cu nul ...............................................................76 3.5. Redresorul trifazat în punte ............................................................79 3.5.1. Functionarea redresorului necomandat ..................................79 4 3.5.2. Functionarea redresorului comandat ......................................82 3.5.3. Procese de comutatie si caracteristici ale redresorului trifazat în punte.......................................................................................83 3.6. Scheme de redresare multifazate....................................................85 3.7. Redresoare reversibile si convertoare directe de frecventa............91 3.8. Convertoare reglabile de tensiune alternativa ................................95 3.9. Influenta convertoarelor asupra retelei de alimentare ....................99 3.9.1. Factorul de putere al convertoarelor.......................................99 3.9.2. Convertoare cu tiristoare cu coeficient sporit de putere.......107 3.9.3. Surse de putere reactiva........................................................113 3.10. Sisteme de comanda pentru convertoare cu tiristoare..............117 3.10.1. Functiile si structura sistemelor de comanda .......................117 3.10.2. Dispozitive de defazare (DDF) ............................................120 3.10.3. Sisteme de comanda multicanal ...........................................128 3.10.4. Sisteme de comanda monocanal ..........................................131 3.11. Convertoare autonome .............................................................135 3.11.1. Metode de reglare a tensiunii continue ................................135 3.11.2. Blocuri de comutatie a tiristoarelor monooperationale ........138 3.11.3. Invertoare de tensiune ..........................................................142 3.11.4. Invertoare de curent..............................................................146 3.11.5. Invertoare de rezonanta ........................................................151 4. AMPLIFICARE CU TRANZISTOARE .............................................154 4.1. Caracteristica de transfer a etajului de amplificare ......................154 4.2. Regimul de repaus la amplificatorul cu tranzistor în montaj cu emitor comun............................................................................................156 4.3. Reactia negativa si stabilizarea regimului de repaus....................160 4.4. Schema echivalenta si parametrii principali ai etajului amplificator cu tranzistor în montaj emitor comun ......................................................162 4.5. Tipuri de conexiuni si deriva nulului în amplificatoarele de curent continuu....................................................................................................166 4.6. Amplificatorul diferential.............................................................168 4.7. Etajul amplificator cu tranzistor în montaj colector comun.........173 4.8. Etajul amplificator cu tranzistor cu efect de câmp în montaj sursa comuna ...........................................................................................175 4.9. Amplificatorul operational ...........................................................178 4.10. Amplificatorul operational neinversor cu reactie.....................180 4.11. Amplificatorul operational inversor cu reactie.........................183 4.12. Scheme operationale ................................................................184 4.13. Compensarea curentilor de intrare si a tensiunii de deplasare a nulului................................................................................188 4.14. Caracteristicile de frecventa ale amplificatoarelor si autoexcitatia .............................................................................................190 5 4.15. Amplificatoare selective si generatoare de oscilatii sinusoidale................................................................................................193 4.16. Amplificatoare cuplate capacitiv..............................................194 4.17. Etaje amplificatoare de putere..................................................198 5. CIRCUITE DE IMPULSURI...............................................................204 5.1. Avantajele transmiterii informatiei sub forma impulsurilor ........204 5.2. Regimul de comutatie al tranzistorului ........................................206 5.3. Regimul neliniar de functionare a amplificatorului operational. Comparatoare ...........................................................................................209 5.4. Circuite RC formatoare de impulsuri ...........................................212 5.4.1. Circuite de diferentiere (derivare) ........................................212 5.4.2. Circuite de integrare .............................................................213 5.5. Circuitul basculant astabil (multivibrator) cu amplificator operational................................................................................................214 5.6. Circuitul basculant monostabil cu amplificator operational ........217 5.7. Generatoare de tensiune liniar variabila (GTLV) ........................219 5.8. Generatoare blocking ...................................................................223 6. ELECTRONICA DIGITALA..............................................................226 6.1. Sisteme de numeratie în electronica digitala. Elemente de logica booleana (binara) si circuite logice ..........................................................226 6.1.1. Sisteme de numeratie ...........................................................226 6.1.2. Operatii si circuite logice elementare...................................229 6.1.3. Alte circuite logice mai des folosite.....................................231 6.1.4. Circuite logice cu mai mult de doua intrari..........................234 6.1.5. Utilizarea portii inversoare pentru transformarea circuitelor logice..................................................................................235 6.2. Utilizarea circuitelor logice binare pentru obtinerea functiilor logice .....................................................................................236 6.3. Coduri. Codificare si decodificare ...............................................244 6.3.1. Coduri...................................................................................244 6.3.2. Codificatoare ........................................................................247 6.3.3. Dispozitive de afisare cu sapte segmente.............................247 6.3.4. Decodificatoare ....................................................................248 6.3.5. Afisoare cu cristale lichide...................................................251 6.4. Circuite basculante utilizate ca circuite logice.............................252 6.4.1. Circuite basculante bistabile (triggeri) .................................252 6.4.2. Utilizarea circuitelor basculante logice ca circuite de memorie 260 6.4.3. Comanda circuitelor basculante bistabile.............................261 6.5. Numaratoare .................................................................................263 6.5.1. Numaratoare asincrone.........................................................263 6.5.2. Numaratoare sincrone ..........................................................265 6 6.5.3. Numaratoare inverse ............................................................266 6.5.4. Numaratoare cu autooprire...................................................267 6.6. Registre de deplasare....................................................................268 6.7. Dispozitive aritmetice ..................................................................270 6.7.1. Adunarea binara ...................................................................270 6.7.2. Semisumatoare .....................................................................271 6.7.3. Sumatoare.............................................................................272 6.7.4. Scaderea binara; semiscazatoare; scazatoare .......................273 6.7.5. Utilizarea sumatoarelor pentru scadere ................................274 6.7.6. Sumatoare cu actiune succesiva ...........................................275 6.7.7. Înmultirea binara ..................................................................276 6.7.8. Înmultitoare binare ...............................................................277 6.7.9. Scrierea, adunarea si scaderea numerelor prezentate în cod complementar .......................................................................................279 6.8. Dispozitive de memorare .............................................................280 6.8.1. Memorii RAM......................................................................280 6.8.2. Memorii ROM; memorii programabile................................281 6.9. Memorii externe ...........................................................................282 6.10. Calculatoare..............................................................................284 6.10.1. Calculatoare personale .........................................................284 6.10.2. Microprocesoare...................................................................286 6.10.3. Scurta istorie a calculatoarelor electronice...........................293 6.11. Conjugarea instalatiilor numerice si analogice ........................295 7. MASURAREA ELECTRICA A MARIMILOR NEELECTRICE......302 7.1. Convertoare. Amplificatoare........................................................305 7.2. Instalatii de adaptare.....................................................................307 7.3. Aparate de iesire...........................................................................318 7.4. Masurarea amplitudinii ................................................................321 7.5. Elementele circuitelor de masura si perturbatiile.........................323 7.5.1. Adaptarea elementelor circuitelor de masura.......................323 7.5.2. Perturbatiile în circuitele de masura.....................................325 7.6. Scheme rezistive de masura .........................................................331 7.6.1. Scheme de masura cu divizoare de tensiune .......................331 7.6.2. Scheme în punte ...................................................................335 7.6.3. Schema de masura cu elemente sensibile.............................341 7.6.4. Punti cu masurarea deviatiei ................................................343 7.6.5. Masurarea rezistentelor traductoarelor cu amplificatoare operationale ..........................................................................................345 7.6.6. Masurarea rezistentei traductoarelor prin metoda analogica în punte cu conversie în frecventa............................................................346 7.6.7. Masurarea numerica a rezistentei cu convertor în trepte......346 7.7. Elemente sensibile reactive ..........................................................347 7 7.7.1. Elemente inductive...............................................................347 7.7.2. Elemente sensibile cu transformator ....................................348 7.7.3. Punti de curent alternativ pentru masurarea inductantei ......349 7.7.4. Traductoare capacitive .........................................................350 7.7.5. Scheme de masura cu traductoare capacitive.......................353 7.8. Traductoare active electrodinamice .............................................355 7.9. Elemente sensibile piezoelectrice.................................................357 8. TRANSMITEREA DATELOR ...........................................................359 8.1. Instalatii pentru obtinerea si memorarea rezultatelor masuratorilor ............................................................................................359 8.2. Masuratori la distanta si telemetrie ..............................................362 8.2.1. Instalatii pentru masuratori la distanta .................................362 8.2.2. Transmiterea semnalelor în curent constant.........................363 8.2.3. Procedee analogice de masurare la distanta cu transformarea informatiei de tipul frecventa – structura .............................................364 8.2.4. Multiplexoare de frecventa...................................................366 8.2.5. Multiplexoare în timp...........................................................367 9. PRELUCRAREA ELECTRONICA A REZULTATELOR MASURATORILOR ...................................................................................373 9.1. Aparate de calcul..........................................................................373 9.1.1. Aparate de legatura...............................................................373 9.1.2. Aparate functionale ..............................................................376 9.2. Analiza spectrala a semnalelor de masura....................................379 9.3. Analiza de corelatie a semnalelor de masura ...............................381 BIBLIOGRAFIE..........................................................................................384. Semiconductoare, electronica, diode, tranzistoare, caracteristici |
|
Electronica digitala Numar pagini: 384
|
Integrarea unor expresii irationale |
| 5 expresii aplicate. Integrare, expresii, irationale | INTEGRAREA UNOR EXPRESII IRATIONALE -A+C=0 =>C=A -A+B-C+D=0 A+2B-C-2D=2 A+B+C+D=-1 -2A+B+D=0 2B-2D=2 => B=1+D 2A+B+D=-1 -2A+2D=-1 2A+2D=-2 4D=-3 D=-3/4 ; A=-1/4 ; C=-1/4 ; B=-1/4 |
|
Matematica Numar pagini: 17
|
Solutii apoase |
|
Definitie
Proprietaţile unei soluţii apoase acide Proprietaţile unei soluţii apoase bazice Definiţii operaţionale ale acizilor şi bazelor Comparaţie între acizii tari şi acizii slabi Proprietăţile electrice ale fazelor condensate Căldura de reacţie BIBLIOGRAFIE . Solutii, apoase, proprietatile, acide, bazice, definitii, operationale, acizilor, bazelor, comparatie, acizii, tari, slabi, electrice, condensate, fazelor, caldura, reactie |
|
Chimie Numar pagini: 3
|
Clasicismul |
|
\\\\\\\\\\\\\\\"Termenul de clasicism comporta sensuri largi,exprimind o atitudine estetica fundamentala ce se carecaterizeaza prin tendinta de a observa fenomenele in contextul universului si de a le inchega intr-un sistem proportional si armonios,corespunzator frumosului si concordat cu norme rationale care impun tipuri model,prefectiunea,idealul.\\\\\\\\\\\\\\\"
Trasaturile clasicismului. Clasicism, atitudine estetica, grecia, fidias, moliere, la fontaine, racine, bossuet, rabelais, miron costin, cantemir, antim ivireanul, secolul lui pericle, atena, august, roma, secolul lui ludovic al xiv-lea, voltaire, renasterii florentine, arta poetica, ratiunea, mitizarea, etica, masura, omul cugetator, omul faurar, omul lumesc, destinul schimbator, analogia, rationalismul, obeictivismul, eternul, spatialitatea, utilul, placutul, homeostasia |
|
Istorie Numar pagini: 3
|
Euclid |
|
Euclid
From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search For other uses, see Euclid (disambiguation). Euclid (/ˈjuːklɪd/ EWK-lid; Ancient Greek: Εὐκλείδης Eukleidēs), fl. 300 BC, also known as Euclid of Alexandria, was a Greek mathematician, often referred to as the "Father of Geometry". He was active in Alexandria during the reign of Ptolemy I (323–283 BC). His Elements is one of the most influential works in the history of mathematics, serving as the main textbook for teaching mathematics (especially geometry) from the time of its publication until the late 19th or early 20th century.[1][2][3] In the Elements, Euclid deduced the principles of what is now called Euclidean geometry from a small set of axioms. Euclid also wrote works on perspective, conic sections, spherical geometry, number theory and rigor. "Euclid" is the anglicized version of the Greek name (Εὐκλείδης — Eukleídēs), meaning "Good Glory". Euclid - GEOMETRIA PLANA - PROPORTIILE - ARITMETICA - IRATIONALELE - SPATIUL - CORPURILE PLATONICE - LUCRARILE MINORE SAU PIERDUTE O traditie perpetuata fara intrerupere timp de patru secole pretinde ca primul matematician al epocii elenistice, Euclid, ar fi trait la inceputul secolului al III-lea. Nu exista insa nici un document autentic care sa sprijine aceasta parere general acceptata. Intr-adevar, prima referire explicita la Euclid apare abia intr-o prefata a lui Apollonios. In general vorbind, nu avem nici o dificultate in a face din Euclid un precursor al lui Arhimede. Cu toate acestea, unele pasaje din opera siracuzanului ne fac sa ne intrebam daca nu cumva Euclid a fost fie unul din precursorii imediati ai lui Arhimede, fie chiar unul dintre contemporanii acestuia. In orice caz, studiul matematicilor epocii alexandrine trebuie sa inceapa cu opera lui Euclid. GEOMETRIA PLANA. Acest ansambul foarte impunator cuprinde, in primul rand, Elementele, opera fundamentala in 13 carti, care a dominat matematica elementara pana in secolul trecut. Elementele pot fi subdivizate in cinci parti. Primele patru carti sunt consacrate geometriei plane, si anume, exclusiv studiului figurilor poligonale si circulare. In ele nu se face uz de notiunea de asemanare. Aceasta notiune este studiata in partea a doua, formata din Cartea a V-a, care trateaza, pe plan abstract, rapoartele si proportiile, si din Cartea a VI-a, care este o aplicare a cartii anterioare la geometria plana. Teoria numerelor intregi face obiectul partii a treia care cuprinde Cartile VII, VIII si IX. Cartea a X-a, cea mai extinsa dintre toate, este consacrata celor mai simple numere irationale algebrice. Partea a cincea si ultima trateaza geometria in spatiu si cuprinde Cartile XI, XII si XIII. La inceputul Cartii I, Euclid plaseaza definitiile, cinci “cerinte” sau postulate si “notiunile comune” in numar variabil in diferitele editii, dintre care cel mult cinci sunt considerate autentice. Dintre postulate, cel mai celebru este ultimul: “Daca o dreapta taind doua drepte formeaza unghiurile interne si de aceeasi parte mai mici decat doua unghiuri drepte, cele doua drepte prelungite la infinit se vor intalni in partea in care se afla unghiurile mai mici decat doua unghiuri drepte.” Acesta este celebrul postulat al lui Euclid pe care, in zilele noastre, preferam sa-l enuntam in forma pe care i-a dat-o J. Playfair, in secolul al XVIII-lea: “Printr-un punct al planului nu se poate duce decat o singura paralela la o dreapta data”. In secolul al III-lea i.e.n., el constituia conditia necesara pentru aplicarea rationamentului matematic in geometrie si a ramas ca atare pana in secolul al XVIII-lea e.n. Astazi stim ca sunt posibile multe geometrii elementare, insa pentru a formula si deci utiliza geometrii neeuclidiene trebuie sa poata fi folosite functiile circulare si functiile exponentiale. Grecii, care nu aveau la dispozitie decat algebra babiloneana, adaptata la geometrie prin intermediul tehnicii aplicatiilor ariilor, erau nevoiti sau sa admita postulatul lui Euclid, sau sa abandoneze orice cercetare in domeniul geometriei. Ceea ce este remarcabil este ca, confruntat cu aceasta necesitate imperioasa, Euclid nu s-a multumit cu o referire la evidenta, cu un apel la bunul-simt exprerimental, ci a simtit nevoia sa formuleze un postulat. Este prima marturie istorica a unei atitudini specific matematice. Continutul propriu-zis al primei carti, care incepe cu problema construirii triunghiului echilateral (de fapt, un postulat deghizat in problema) si se termina cu teorema despre patratul ipotenuzei (teorema zisa “a lui Pitagora”) este, in ansamblu, de data foarte veche. Cartea a II-a, foarte scurta, se ocupa cu bazele algebrei geometrice, instrument de lucru indispensabil al geometriei elene. Dupa ce se admite existenta sumei si a diferentei a doua segmente rectilinii, se studiaza relatiile dintre dreptunghiurile care au aceeasi inaltime si apoi patratele construite pe suma sau diferenta a doua segmente. Ea contine, in particular, intr-o terminologie azi uitata, o rezolvare a ecuatiilor de gradul al doilea. Aceasta ultima tema va fi reluata, intr-o forma mai generala, in Cartea a VI-a, in care “parabolele in elipsa” si “in hiperbola” – adica “aplicarea ariilor in lipsa” si “in exces” – echivaleaza cu un studiu complet al ecuatiei . Cartea a III-a, si ea tot foarte elementara, trateaza proprietatile cercului. In particular, in ea se stabileste – fapt remarcabil – notiunea de putere a unui punct in raport cu un cerc, fara sa se foloseasca similitudinea, prin metode de aplicare a ariilor, adica prin algebra geometrica. Studiul tangentei intr-un punct determina aparitia, pentru prima data in istorie, a notiunii capitale de unghi de contingenta. Cartea a IV-a, cu savoare pitagoreica, studiaza problema inscrierii poligoanelor regulate intr-un cerc, precum si problema circumscrierii poligoanelor. Ea nu trateaza insa decat triunghiul echilateral, patratul, pentagonul si hexagonul, pentru care problema poate fi rezolvata cu ajutorul riglei si compasului. In ea se reuseste turul de forta de a inscrie pentagonul in cerc, fara a face apel la asemanare; asemenea detalii sunt dintre cele care ne fac sa recunoastem mana unui mare artist. PROPORTIILE. Partea a doua a Elementelor este mult mai dificila. Cartea a V-a constituie una dintre culmile gandirii matematice si se poate afirma ca ea n-a fost realmente asimilata si depasita decat de abia vreo suta de ani. Ea trateaza notiunea de raport, care este inclusa in urmatoarele patru definitii abstracte: “[3] Raport este relatia dupa cantitate a doua marimi de acelasi fel. [4] Se zice ca marimile au un raport intre ele daca, inmultite, una poate intrece in marime pe cealalta. [5] Se zice ca marimile sunt in acelasi raport, intaia catre a doua si a treia catre a patra, daca multiplii egali ai celei dintai si ai celei de a treia, deodata, sau intrec in marime respectiv multiplii egali ai celei de a doua si ai celei de a patra, pentru oricare multiplu, sau sunt egali, sau mai mici, in ordinea considerata… [7] Iar daca dintre multiplii egali, multiplul celei dintai intrece in marime multiplul celei de a doua, dar multiplul celei de a treia nu intrece in marime multiplul celei de a patra, se zice ca intaia catre a doua are un raport mai mare decat a treia catre a patra.” Dintre aceste definitii, cea mai importanta este definitia [4]. Ea apare aici, in mod cu totul justificat, sub aspectul ei de definitie, insa in Cartile VI, X, XI si XII se admite, implicit, ca segmentele rectilinii, ariile plane, volumele si unghiurile rectilinii satisfac aceasta definitie. Arhimede este cel care a simtit ca este vorba aici de o cerinta, de un postulat, care ar trebui explicitat, deoarece unghiurile curbilinii, in particular, unghiul de contingenta, nu satisfac aceasta definitie. Definitiile [5] si [7], foarte abstracte, permit sa se formuleze teoria rapoartelor in toata generalitatea ei si intr-o forma de o suprema eleganta. Ea constituie echivalentul notiunii moderne de taietura introdusa in secolul trecut. Nimic nu ne autorizeaza, in afara, poate, de o scolie anonima, sa atribuim aceasta teorie inca lui Eudoxos. Cartea a VI-a este importanta, dar elementara. In ea se gasesc cazurile de asemanare a triunghiurilor, teorema numita impropriu, pana in zilele noastre, “a lui Tales”, proportionalitatea intre arcurile de cerc si unghiurile la centru sau unghiurile inscrise in cerc, rezolvarea generala a ecuatiilor de gradul al doilea prin procedee pur geometrice. In felul acesta, algebra geometrica este solid constituita, devenind un admirabil instrument de lucru pe care Arhimede si Apollonius vor sti sa-l foloseasca la maximum. ARITMETICA. Cartile de aritmetica constituie cel mai vechi tratat de teorie a numerelor care a ajuns pana la noi si totodata si cel mai riguros, daca avem in vedere perioada de pana la sfarsitul secolului al XIX-lea. In ele nu trebuie cautata o aritmetica practica, ci un ansamblu de studii teoretice asupra naturii numarului intreg. Cartea a VII-a dezvolta din nou, in primele propozitii, tema Cartii a V-a, teoria proportiilor, dar numai pentru cazul rapoartelor rationale si, in general vorbind, intr-o forma mai arhaica si mai putin riguroasa. Luata insa in ansamblu, Cartea studiaza intregul, pornind de la urmatoarele consideratii: fara nici o incercare de a demonstra afirmatia si fara nici un postulat explicit, se afirma ca numarul, fiind o marime, se bucura de proprietatile generale ale marimilor, si anume, in principal, de proprietatile de existenta, unicitate, comutativitate si asociativitate a sumei. Demonstratiile se vor baza pe aceste proprietati intuitive si pe caracterul discret al intregului. Acest caracter discret este exprimat prin doua axiome principale implicite: 1) unitatea este o masura (divizor) a oricarui numar si 2) inaintea unui numar dat exista doar o multime finita de numere intregi, cu alte cuvinte, orice multime de numere intregi poseda un cel mai mic element. Cea de-a doua axioma este esentiala pentru gasirea, cu ajutorul algoritmului lui Euclid, a celui mai mare divizor comun a doua numere. Acest algoritm, care este instrumentul de baza al teoriei elementare a numerelor, apare aici pentru prima data, in legatura cu simplificarea aproximativa a rapoartelor asa cum o practicau, in aceeasi epoca, Aristarh din Samos si Arhimede. El constituie si punctul de plecare al teoriei fractiilor continue, care vor incepe sa joace un rol de prim rang incepand din secolul al XVII-lea. Tot in Cartea a VII-a mai gasim o teorie a numerelor prime intre ele si a numerelor prime absolute, teorie care s-a pastrat pana azi in invatamantul elementar, intr-o forma aproape neschimbata. Urmeaza apoi o scurta teorie a celui mai mic multiplu comun. Cartea a VIII-a, mult mai omogena decat precedenta, este consacrata aproape in intregime numerelor intregi in progresie geometrica sau, intr-un alt limbaj, puterilor numere intregi ale fractiilor. Scopul ei este, in ultima analiza, sa stabileasca, intr-o forma generala, cazurile de rationalitate a radacinilor de ordinul n ale unui intreg sau ale unei fractii. Cartea a IX-a cuprinde, pe de o parte, propozitii vetuste despre par si impar, bazate pe rationamente foarte slabe, iar pe de alta parte, teoreme foarte subtile si foarte frumoase, cum este cea care stabileste existenta unei infinitati de numere prime absolute sau cea care construieste numerele perfecte euclidiene. IRATIONALELE. Cartea a X-a este cea mai ampla dintre toate: contine 114 propozitii! Lectura ei cere din partea matematicianului modern o pregatire solida si un curaj perseverent.. In schimb, studiul ei recompenseaza pe deplin efortul. Tema generala o constituie clasificarea scrupuloasa a primelor lungimi irationale, rezultate din metodele de aplicare (transformare) a ariilor, pornind de la o lungime luata drept unitate (ultimele cuvinte nu sunt insa pronuntate explicit). Un singur termen a supravietuit in limbajul nostru ca unica amintire a acestei oprere considerabile: cuvantul “binom”, dupa modelul caruia algebristii nostri au fasonat “trinomul” si “polinomul”. Unii au incercat sa atribuie aceasta carte lui Teetet, eroul Dialogului lui Platon. Dar daca mai multe dintre propozitiile cele mai simple pe care le contine pot fi atribuite secolului al IV-lea, cartea, in ansamblu, se prezinta totusi ca o opera de mare perseverenta, minutioasa, un pic greoaie, elaborata de un bun matematician. Autorul ei este o minte riguroasa, un matematician de profesie, care se inrudeste mai mult cu Apollonios decat cu Arhimede. Prima propozitie, care poate fi atribuita inca lui Eudoxos, formuleaza elementul de baza al metodelor de exhaustiune despre care vom vorbi mai tarziu. Iat-o: “Fiind date doua marimi neegale, daca din cea mai mare se scade una mai mare decat jumatatea ei, iar din cea ramasa una mai mare decat jumatatea ei, si aceasta se repeta continuu, va ramane o marime oarecare care va fi mai mica decat marimea cea mai mica considerata.” Urmatoarele trei propozitii folosesc algoritmul lui Euclid, fie pentru a gasi cea mai mare masura comuna, daca cele doua marimi sunt comensurabile, fie pentru a trage concluzia ca marimile sunt incomensurabile, daca algoritmul nu se sfarseste dupa un numar finit de pasi. Urmeaza apoi cateva propozitii generale despre marimi. Dupa aceasta parte, care este doar un fel de introducere, nu va mai fi vorba decat de segmente rectilinii. Masurile lor, pornind de la un segment unitate, ar fi reprezentate de noi prin expresii de forma , unde a si b sunt numere rationale. Euclid studiaza diferitele cazuri cand aceasta forma poate fi simplificata si deduce o clasificare a acestora. SPATIUL. O data cu Cartea a XI-a incepe geometria spatiului. Putinul care se cunoaste despre lucrarile lui Arhytas si Eudoxos lasa sa se creada ca aceasta carte rezuma cunostintele secolului al IV-lea in acest domeniu, cu cateva adaptari efectuate in secolul urmator. Dintre definitiile initiale, cele care se refera la sfera, con si cilindru fac apel la miscare. Generarea acestor corpuri se face prin rotirea, respectiv, a unui semicerc in jurul bazei, a unui triunghi dreptunghic in jurul uneia dintre laturile unghiului drept si a unui dreptunghi in jurul uneia dintre laturi. Astfel de consideratii cinematice, introduse aici, probabil, pentru a asigura continuitatea figurilor, erau evitate cu desavarsire in cartile de geometrie plana. Cele trei propozitii de la inceput, si anume: “Nu se poate ca o parte a unei linii drepte sa fie in planul de baza, iar o parte intr-unul mai ridicat”, “Daca doua drepte se taie, ele sunt intr-un plan, si orice triunghi este intr-un plan”, “Daca doua plane se taie, sectiunea lor comuna este o dreapta”, sunt demonstrate cu totul insuficient si de fapt sunt adevarate postulate. Insa cartea, in ansamblu – in care se studiaza notiunile de ortogonalitate si paralelism in cazul dreptelor si planelor, precum si volumele paralelipipedelor – este de inalta tinuta. Trebuie remarcata absenta totala a notiunii de orientare si a ideii inrudite de simetrie. Cartea a XII-a studiaza ariile cercurilor, precum si volumele piramidelor, conurilor, cilindrilor si sferelor. Aceste studii necesita folosirea procedeelor infinitezimale si, dupa marturia formala a lui Arhimede, ele vin de la Eudoxos. Propozitiile enuntate nu dau cvadratura acestor arii sau cubatura acestor solide, ei se multumesc sa dea numai rapoartele: “Cercurile sunt intre ele ca patratele diametrelor.” “Orice prisma avand baza triunghiulara se imparte in trei piramide egale intre ele avand baze triunghiulare.” “Sferele sunt intre ele in raportul cuburilor diametrelor.” Pentru a stabili echivalenta a doua volume, se arata ca primul nu este nici mai mic, nici mai mare decat cel de-al doilea. Tehnica demonstratiei se bazeaza pe ceea ce geometrii logicieni ai secolului al XVII-lea au numit exhaustiune, epuizare. Aceasta metoda, a carei utilizare este legitimata de prima propozitie a Cartii a X-a arata, in ultima analiza, ca diferenta dintre cele doua volume, daca ar exista, ar fi mai mica decat orice marime dinainte data. CORPURILE PLATONICE. Cartea a XIII-a, foarte frumoasa si foarte tehnica, este consacrata in intregime celor cinci poliedre regulate cunoscute de Platon. In secolul al II-lea i.e.n., Hipsicle a adaugat Elementelor o a XIV-a carte, care trateaza compararea dodecaedrului si icosaedrului inscrise intr-o aceeasi sfera. Dupa cum recunoaste autorul insusi in scrisoarea-prefata, tema aceasta fusese deja tratata de Aristeu si Apollonios. Bizantinii au mai adaugat o a XV-a carte, consacrata si ea tot corpurilor platonice. Ea este insa de un nivel foarte scazut. Una dintre cele doua parti care o compun pare sa fi fost scrisa in secolul al V-lea e.n., cealalta – intr-o epoca si mai recenta. LUCRARILE MINORE SAU PIERDUTE. Opera lui Euclid nu se limiteaza la Elemente. Catalogul scrierilor care ii sunt atribuite este mare. Unele dintre ele au ajuns pana la noi, altele au disparut complet sau partial. Dintre aceste scrieri cu caracter teoretic citam mai intai Datele, un fel de complement al Elementelor, dar cu o forma mai analitica. Lucrarea cuprinde 94 de propozitii. Primele stabilesc cateva proprietati ale marimilor proportionale sau “care au cresteri proportionale”, adica, in limbajul nostru, proprietatile functiilor liniare. Propozitiile urmatoare, cu caracter mai geometric, se refera la figurile asemenea, la aplicarea ariilor, adica la rezolvarea ecuatiilor de gradul al doilea, si la cerc. Lucrarea pastreaza inca un caracter foarte elementar. Nu acelasi lucru se poate afirma despre tratatul, astazi pierdut, despre porisme (Porismata). Pappus ne-a lasat o descriere destul de neclara. Pornind de la aceasta marturie, matematicienii moderni, in special Robert Simson si Chasles, au incercat reconstituiri care, ca toate lucrarile de acest gen, au un caracter foarte ipotetic. Se pare insa ca este destul de ferm stabilit ca in acest tratat pierdut, Euclid rezolva mai multe probleme care au oarecare afinitate cu geometria proiectiva si cu teoria transversalelor, asa cum le tratau matematicienii din prima jumatate a secolului trecut. In el figureaza, in particular, teorema lui Desargues cu privire la Triunghiurile omologice si teorema lui Pappus cu privire la hexagoanele inscrise intr-o conica degenerata in doua drepte. Incepand de pe la sfarsitul secolului al XIX-lea, aceste doua propozitii joaca un rol esential in geometria proiectiva. Vom mai mentiona, ceva mai departe, alte doua tratate pierdute: Conica (Conicele) si De locis ad superficiam (Despre locuri pe suprafata). Postulatul lui Euclid sau axioma paralelelor, Teorma, Definitii, Tranzitivitatea relatiei de paralelism in spatiu Paralelism in spatiu Postulatul lui Euclid sau axioma paralelelor. Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte trece o dreapta paralela cu ea si numai una. Teorema 1. Doua drepte paralele determina un plan. Definitie. O dreapta d poate sa nu aiba nici un punct comun cu planul α ( d ∩ α = Ø ). In acest caz, vom spune, ca dreapta este paralela cu planul α si notam: α || d sau d || α. 34721nss32ulz6y Teorema 2. O dreapta paralela cu o dreapta dintr-un plan α este paralela cu planul α ( sau continuta in el). Teorema 3. Daca o dreapta a este paralela cu un plan α, oricare plan β care contine aceasta dreapta si intersecteaza planul α, o face dupa o dreapta b paralela cu a. Teorema 4. Daca o dreapta a este paralela cu un plan α paralela la dreapta a dusa printr-un punct A, al planului α, este continuta in α. Lema de paralelism. Daca doua drepte paralele a si b sunt situate, respectiv in doua plane α si β care se intersecteaza dupa o dreapta c atunci c este paralela si cu a si b. sl721n4332ullz Teorema 5. Daca doua drepte distincte a si b sunt paralele cu a treia dreapta c, atunci dreptele a si b sunt paralele intre ele. (Tranzitivitatea relatiei de paralelism in spatiu). Teorema 6. Daca un plan contine doua drepte concurente paralele cu un alt plan, atunci cele doua plane sunt paralele. Teorema 7. Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente ( cand sunt amando-ua ascutite sau amandoua obtuze) sau suplementare ( cand unul din ele este ascutit, iar celalalt obtuz. Daca unul este drept, celalalt este asemenea drept. Teorema 8. Daca un plan intersecteaza doua plane paralele, intersectiile sunt drepte paralele. Teorema 9. Doua plane distincte paralele cu al treilea plan sunt paralele intre ele. Teorema 10. Doua plane paralele determina pe doua drepte paralele, pe care le intersecteaza, segmente congruente. Teorema 11. (Teorema lui Thales in spatiu). Mai multe plane paralele determina pe doua drepte oarecare, care le intersecteaza pe acestea in segmente respectiv proportionale. . Euclid |
|
Matematica Numar pagini: 7
|
Formule la algebra |
|
Numere reale conjugate
Formula de rezolvare a ecuatie de gradul 2 Dependenta funcionala Probabilitatea Proprietatile egalitatii cu nr. reale Medii Media Aritmetica Media Geometrica Media (h)Armonica Media Ponderata Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatie 1)Metoda Grafica 2)metoda Substitutiei 3)Metoda Reducerii Multimi Relatii X –produs cartezian N –numere naturale Z – numere intregi Q – numere rationale R-Q –numere irationale R - numere reale MINIME MAXIME Puteri . Formule, algebra, numere, reale, formula, rezolvare, ecuatie, gradul 2, dependenta, functionala, probabilitate, egalitate, medii, media, aritmetica, geometrica, armonica, ponderata, metode, rezolvare, sisteme, metoda, grafica, substitutie, reducere, multimi, relatii, produs cartezian, naturale, intregi, rationale, irationale, reale, minime, maxime, puteri |
|
Matematica Numar pagini: 6
|
"rationale" rezultate au fost gasite 6
