matematica
"matematica" rezultate au fost gasite 28
Rezolvari Variante Bac M1 |
| . Rezolvari, variante, bac | 1 |
|
Matematica Numar pagini: 300
|
Teorema lui Cauchy |
|
Enuntul teoremei
interpretare geometrica demonstratia teoremei aplicatii. Teorema, cauchy, enunt, interpretare, geometrica, aplicatii, demonstratie | ( enuntul teoremei ( demonstratia teoremei ( interpretare geometrica ( aplicatii ( ENUNTUL TEOREMEI Fie f si g doua functii, f,g:[a,b](R, cu proprietatile: f si g continue pe [a,b] f si g derivabile pe (a,b) g(x)=0 atunci g(a)=g(b) si (?) cel putin un punct c?(a,b) a.i. ( DEMONSTRATIA TEOREMEI ( INTERPRETARE GEOMETRICA... |
|
Matematica Numar pagini: 9
|
Integrarea unor expresii irationale |
| 5 expresii aplicate. Integrare, expresii, irationale | INTEGRAREA UNOR EXPRESII IRATIONALE -A+C=0 =>C=A -A+B-C+D=0 A+2B-C-2D=2 A+B+C+D=-1 -2A+B+D=0 2B-2D=2 => B=1+D 2A+B+D=-1 -2A+2D=-1 2A+2D=-2 4D=-3 D=-3/4 ; A=-1/4 ; C=-1/4 ; B=-1/4 |
|
Matematica Numar pagini: 17
|
Curs 22 Filosofia teoretică a lui Kant |
|
1. Date biografice şi bibliografice
2. Între empirism şi raţionalism 3. Sensibilitate şi intelect 4. Judecăţile sintetice a priori 5. Posibilitatea matematicii şi fizicii 6. Posibilitatea metafizicii ca ştiinţă 7. Regulativ – constitutiv în cunoaştere 8. Distincţia fenomen – lucru în sine 9. Realitatea lucrului în sine . Filosofia, teoretica, kant, antiteza, locke, hume, immanuel kant, date, biografice, bibliografice, despre forma si principiile lumii sensibile si ale celei inteligibile, critica ratiunii pure, prolegomene la orice metafizica viitoare care se va putea înfatisa drept stiinta, intemeierea metafizicii moravurilor, primele principii metafizice ale stiintelor naturii, critica ratiunii practice, ; critica facultatii de judecare, religia în limitele simplei ratiuni, spre pacea eterna, metafizica moravurilor, antropologia din perspectiva pragmatica, empirism, rationalism, sensibilitate, intelect, forma, judecatile, sintetice, a priori, analitice, cunoasterea, a posteriori, matematica, timpul, aritmetica, geometria, fizica, newtoniana, experienta, contingenta, particulara, universala, metoda, transcendentala, regulativ, constitutiv, metafizica, psihologia, cosmologia, teologia, libertatea, ideal, argumentul, ontologic, distinctia, fenomen, lucru, phaenomena, prolegomene, disertatia, lumea, substante, principiu, realitatea, quaestiones, diputates, alois riehl, h, cohen, moralistul, h, vaihinger, e, boutroux, platon, constantin noica, dasein, wirklichkeit, sensibil, inteligibil, quantum, existent, fenomen |
|
Istoria filosofiei moderne Numar pagini: 15
|
Permutari |
|
1.Notiunea de permutare.
2.Produsul (compunerea) permutarilor. 3.Proprietati ale compunerii permutarilor. 4.Transpozitii. 5.Inversiunile unei permutari. 6.Signatura unei permutari. Aplicatii. . Permutari, permutare, notiune, produs, compunere, proprietati, transpozitii, inversiune, signatura, aplicatii |
|
Matematica Numar pagini: 13
|
Teorema lui Rolle |
|
Enunt
Demonstratie Cazul I Cazul II Cazul III Interpretare geometrica APLICATII. Teorema, rolle, enunt, demonstratie, interpretare, geometrica, aplicatii | TEOREMA LUI ROLLE Enunt: Fie f:[a,b](R ,af(a)=f(b) OBS! Toate conditiile din teorema lui Rolle sunt necesare. Daca se renunta la una din conditii atunci teorema nu mai este valabila. APLICATII Sa ... |
|
Matematica Numar pagini: 9
|
Metoda de integrare prin parti |
|
Teorema
Exercitii Demonstratie . Metoda, integrare, prin, parti, teorema, exercitii, demonstratie | Metoda de integrare prin parti Teorema: Daca f, g: J ( R sunt functii derivabile cu derivatele continue, atunci functiile fg ,fg si fg admit primitive si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia: Demonstratie Exercitii Sa se calculeze: Utilizarea metodei integrarii prin parti la calculul integralelor recurente |
|
Matematica Numar pagini: 10
|
Determinanti trigonometrici |
|
Unele proprietati si reguli de calculare a determinantilor:
Regula lui Laplace Determinant Vandermonde B)Formule trigonometrice folosite: APLICATII . Determinanti, trigonometrici, proprietati, reguli, calcul, calculare, laplace, vandermonde, formule, trigonometrice, aplicatii |
|
Matematica Numar pagini: 7
|
Calculul ecuatiilor matriciale |
| Aplicatii. Calcul, ecuatii, matriciale, aplicatii | Calculul ecuatiilor matriciale Fie A, B(Mm× m ( C), A = a11 a12 a 13 ...a1m , B= b11 b 12 b13 b1m a21 a22 a 23 ...a2m b21 b 22 b23 b2m a31 a32 a 33 ...a3m b31 b 32 b33 b3m am1 am2 a m3 ..amm bm1b m2 bm3 ..bmm ... |
|
Matematica Numar pagini: 9
|
Cercul |
| Definitii, reguli. Cerc, cercul, definitii, reguli | Cercul Cercul Fie O un punct intr-un plan si r un numar pozitiv. Cercul cu centrul O si raza r, notat C(O,r) este multimea tuturor punctelor din plan care se afla la distanta r de punctul O Segmentul cu capetele pe cerc se numeste coarda. Coarda care contine centrul cercului se numeste diametru. Daca A si B sunt puncte distincte ale unui cerc cu centrul O, atunci intersectia acestui cerc cu interiorul unghiului la centru AOB, reunita cu punctel... |
|
Matematica Numar pagini: 11
|
Proprietati ale legilor de compozitie |
|
Asociativitatea
Comutativitatea Element neutru Element simetrizabil Aplicatii . Proprietati, legi, compozitie, asocietivitate, comutativitate, element, neutru, element simetrizabil, aplicatii |
|
Matematica Numar pagini: 12
|
Distante |
|
Distanţa dintre două puncte
Distanţa de la un punct la o dreaptă Distanţa de la un punct la un plan Distanţa dintre două drepte paralele Distanţa dintre două plane paralele Aplicaţii . Distanta, distante, doua, puncte, punct, dreapta, plan, drepte, paralele, plane, aplicatii |
|
Matematica Numar pagini: 6
|
Exemple de grafice de funcţii |
| 16 exemple. Exemple, grafice, functii | 3. Exemple de grafice de func?ii 1) domeniul maxim de defini?ie: R; func?ie aperiodic?; intersec?iile cu axele sunt (0,0), (-1,0); func?ia nu este par?, nici impar?; nu exist? asimptote; este continu? pe R. 2) domeniul maxim de defini?ie: R{0}; func?ie aperiodic?; graficul nu taie axa Oy; intersec?ia cu axa Ox este (-1,0); func?ia nu este par?, nici impar?; asinctote: Ox (orizontal?), Oy (vertical?); este continu? pe R{0}. 3) dome... |
|
Matematica Numar pagini: 9
|
Limite laterale |
|
Definitii
Observatii. Limite, laterale, definitii, observatii | Fie f :D ( R o functie reala de agreement real si X0 apartine lui D prim un punct de acumulare pentru multimea D . Numarul ls apartine lui R vectorial se numeste limita la funcia f in X0 daca pentru orice sir (Xn ) ,Xn apartine lui D intersectat cu multimea (- ?,X0 ) cu lim. Xn unde n tinde la infinit este egala cu X0 ,rezulta lim.f Xn unde n tinde la infinit este egala cu ls . Numarul ld apartine lui R vectorial se numeste limita de dreapta a functiei f in X0 daca pentru ... |
|
Matematica Numar pagini: 1
|
Formule trigonometrice |
| . Formule trigonometrice | Formule trignometrice 1 FORMULE TRIGONOMETRICE Formula fundamentala: Formule provenite din formula fundamentala: ... |
|
Matematica Numar pagini: 2
|
Formule la algebra |
|
Numere reale conjugate
Formula de rezolvare a ecuatie de gradul 2 Dependenta funcionala Probabilitatea Proprietatile egalitatii cu nr. reale Medii Media Aritmetica Media Geometrica Media (h)Armonica Media Ponderata Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatie 1)Metoda Grafica 2)metoda Substitutiei 3)Metoda Reducerii Multimi Relatii X –produs cartezian N –numere naturale Z – numere intregi Q – numere rationale R-Q –numere irationale R - numere reale MINIME MAXIME Puteri . Formule, algebra, numere, reale, formula, rezolvare, ecuatie, gradul 2, dependenta, functionala, probabilitate, egalitate, medii, media, aritmetica, geometrica, armonica, ponderata, metode, rezolvare, sisteme, metoda, grafica, substitutie, reducere, multimi, relatii, produs cartezian, naturale, intregi, rationale, irationale, reale, minime, maxime, puteri |
|
Matematica Numar pagini: 6
|
Postulatele si axiomele lui Euclid |
|
Teorema lui Pitagora
Leonardo da Vinci Functii trigonometice . Postulate, axiome, euclid, teorema, pitagora, leonardo, da vinci, functii, trigonometrice, aristotel, platon, thales | Postulatele si axiomele lui Euclid Primele trei postulate afirma : Ca de la orice punct < se poate > duce o linie treapta ; Si ca un segment de dreapta |
|
Matematica Numar pagini: 6
|
Euclid |
|
Euclid
From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search For other uses, see Euclid (disambiguation). Euclid (/ˈjuːklɪd/ EWK-lid; Ancient Greek: Εὐκλείδης Eukleidēs), fl. 300 BC, also known as Euclid of Alexandria, was a Greek mathematician, often referred to as the "Father of Geometry". He was active in Alexandria during the reign of Ptolemy I (323–283 BC). His Elements is one of the most influential works in the history of mathematics, serving as the main textbook for teaching mathematics (especially geometry) from the time of its publication until the late 19th or early 20th century.[1][2][3] In the Elements, Euclid deduced the principles of what is now called Euclidean geometry from a small set of axioms. Euclid also wrote works on perspective, conic sections, spherical geometry, number theory and rigor. "Euclid" is the anglicized version of the Greek name (Εὐκλείδης — Eukleídēs), meaning "Good Glory". Euclid - GEOMETRIA PLANA - PROPORTIILE - ARITMETICA - IRATIONALELE - SPATIUL - CORPURILE PLATONICE - LUCRARILE MINORE SAU PIERDUTE O traditie perpetuata fara intrerupere timp de patru secole pretinde ca primul matematician al epocii elenistice, Euclid, ar fi trait la inceputul secolului al III-lea. Nu exista insa nici un document autentic care sa sprijine aceasta parere general acceptata. Intr-adevar, prima referire explicita la Euclid apare abia intr-o prefata a lui Apollonios. In general vorbind, nu avem nici o dificultate in a face din Euclid un precursor al lui Arhimede. Cu toate acestea, unele pasaje din opera siracuzanului ne fac sa ne intrebam daca nu cumva Euclid a fost fie unul din precursorii imediati ai lui Arhimede, fie chiar unul dintre contemporanii acestuia. In orice caz, studiul matematicilor epocii alexandrine trebuie sa inceapa cu opera lui Euclid. GEOMETRIA PLANA. Acest ansambul foarte impunator cuprinde, in primul rand, Elementele, opera fundamentala in 13 carti, care a dominat matematica elementara pana in secolul trecut. Elementele pot fi subdivizate in cinci parti. Primele patru carti sunt consacrate geometriei plane, si anume, exclusiv studiului figurilor poligonale si circulare. In ele nu se face uz de notiunea de asemanare. Aceasta notiune este studiata in partea a doua, formata din Cartea a V-a, care trateaza, pe plan abstract, rapoartele si proportiile, si din Cartea a VI-a, care este o aplicare a cartii anterioare la geometria plana. Teoria numerelor intregi face obiectul partii a treia care cuprinde Cartile VII, VIII si IX. Cartea a X-a, cea mai extinsa dintre toate, este consacrata celor mai simple numere irationale algebrice. Partea a cincea si ultima trateaza geometria in spatiu si cuprinde Cartile XI, XII si XIII. La inceputul Cartii I, Euclid plaseaza definitiile, cinci “cerinte” sau postulate si “notiunile comune” in numar variabil in diferitele editii, dintre care cel mult cinci sunt considerate autentice. Dintre postulate, cel mai celebru este ultimul: “Daca o dreapta taind doua drepte formeaza unghiurile interne si de aceeasi parte mai mici decat doua unghiuri drepte, cele doua drepte prelungite la infinit se vor intalni in partea in care se afla unghiurile mai mici decat doua unghiuri drepte.” Acesta este celebrul postulat al lui Euclid pe care, in zilele noastre, preferam sa-l enuntam in forma pe care i-a dat-o J. Playfair, in secolul al XVIII-lea: “Printr-un punct al planului nu se poate duce decat o singura paralela la o dreapta data”. In secolul al III-lea i.e.n., el constituia conditia necesara pentru aplicarea rationamentului matematic in geometrie si a ramas ca atare pana in secolul al XVIII-lea e.n. Astazi stim ca sunt posibile multe geometrii elementare, insa pentru a formula si deci utiliza geometrii neeuclidiene trebuie sa poata fi folosite functiile circulare si functiile exponentiale. Grecii, care nu aveau la dispozitie decat algebra babiloneana, adaptata la geometrie prin intermediul tehnicii aplicatiilor ariilor, erau nevoiti sau sa admita postulatul lui Euclid, sau sa abandoneze orice cercetare in domeniul geometriei. Ceea ce este remarcabil este ca, confruntat cu aceasta necesitate imperioasa, Euclid nu s-a multumit cu o referire la evidenta, cu un apel la bunul-simt exprerimental, ci a simtit nevoia sa formuleze un postulat. Este prima marturie istorica a unei atitudini specific matematice. Continutul propriu-zis al primei carti, care incepe cu problema construirii triunghiului echilateral (de fapt, un postulat deghizat in problema) si se termina cu teorema despre patratul ipotenuzei (teorema zisa “a lui Pitagora”) este, in ansamblu, de data foarte veche. Cartea a II-a, foarte scurta, se ocupa cu bazele algebrei geometrice, instrument de lucru indispensabil al geometriei elene. Dupa ce se admite existenta sumei si a diferentei a doua segmente rectilinii, se studiaza relatiile dintre dreptunghiurile care au aceeasi inaltime si apoi patratele construite pe suma sau diferenta a doua segmente. Ea contine, in particular, intr-o terminologie azi uitata, o rezolvare a ecuatiilor de gradul al doilea. Aceasta ultima tema va fi reluata, intr-o forma mai generala, in Cartea a VI-a, in care “parabolele in elipsa” si “in hiperbola” – adica “aplicarea ariilor in lipsa” si “in exces” – echivaleaza cu un studiu complet al ecuatiei . Cartea a III-a, si ea tot foarte elementara, trateaza proprietatile cercului. In particular, in ea se stabileste – fapt remarcabil – notiunea de putere a unui punct in raport cu un cerc, fara sa se foloseasca similitudinea, prin metode de aplicare a ariilor, adica prin algebra geometrica. Studiul tangentei intr-un punct determina aparitia, pentru prima data in istorie, a notiunii capitale de unghi de contingenta. Cartea a IV-a, cu savoare pitagoreica, studiaza problema inscrierii poligoanelor regulate intr-un cerc, precum si problema circumscrierii poligoanelor. Ea nu trateaza insa decat triunghiul echilateral, patratul, pentagonul si hexagonul, pentru care problema poate fi rezolvata cu ajutorul riglei si compasului. In ea se reuseste turul de forta de a inscrie pentagonul in cerc, fara a face apel la asemanare; asemenea detalii sunt dintre cele care ne fac sa recunoastem mana unui mare artist. PROPORTIILE. Partea a doua a Elementelor este mult mai dificila. Cartea a V-a constituie una dintre culmile gandirii matematice si se poate afirma ca ea n-a fost realmente asimilata si depasita decat de abia vreo suta de ani. Ea trateaza notiunea de raport, care este inclusa in urmatoarele patru definitii abstracte: “[3] Raport este relatia dupa cantitate a doua marimi de acelasi fel. [4] Se zice ca marimile au un raport intre ele daca, inmultite, una poate intrece in marime pe cealalta. [5] Se zice ca marimile sunt in acelasi raport, intaia catre a doua si a treia catre a patra, daca multiplii egali ai celei dintai si ai celei de a treia, deodata, sau intrec in marime respectiv multiplii egali ai celei de a doua si ai celei de a patra, pentru oricare multiplu, sau sunt egali, sau mai mici, in ordinea considerata… [7] Iar daca dintre multiplii egali, multiplul celei dintai intrece in marime multiplul celei de a doua, dar multiplul celei de a treia nu intrece in marime multiplul celei de a patra, se zice ca intaia catre a doua are un raport mai mare decat a treia catre a patra.” Dintre aceste definitii, cea mai importanta este definitia [4]. Ea apare aici, in mod cu totul justificat, sub aspectul ei de definitie, insa in Cartile VI, X, XI si XII se admite, implicit, ca segmentele rectilinii, ariile plane, volumele si unghiurile rectilinii satisfac aceasta definitie. Arhimede este cel care a simtit ca este vorba aici de o cerinta, de un postulat, care ar trebui explicitat, deoarece unghiurile curbilinii, in particular, unghiul de contingenta, nu satisfac aceasta definitie. Definitiile [5] si [7], foarte abstracte, permit sa se formuleze teoria rapoartelor in toata generalitatea ei si intr-o forma de o suprema eleganta. Ea constituie echivalentul notiunii moderne de taietura introdusa in secolul trecut. Nimic nu ne autorizeaza, in afara, poate, de o scolie anonima, sa atribuim aceasta teorie inca lui Eudoxos. Cartea a VI-a este importanta, dar elementara. In ea se gasesc cazurile de asemanare a triunghiurilor, teorema numita impropriu, pana in zilele noastre, “a lui Tales”, proportionalitatea intre arcurile de cerc si unghiurile la centru sau unghiurile inscrise in cerc, rezolvarea generala a ecuatiilor de gradul al doilea prin procedee pur geometrice. In felul acesta, algebra geometrica este solid constituita, devenind un admirabil instrument de lucru pe care Arhimede si Apollonius vor sti sa-l foloseasca la maximum. ARITMETICA. Cartile de aritmetica constituie cel mai vechi tratat de teorie a numerelor care a ajuns pana la noi si totodata si cel mai riguros, daca avem in vedere perioada de pana la sfarsitul secolului al XIX-lea. In ele nu trebuie cautata o aritmetica practica, ci un ansamblu de studii teoretice asupra naturii numarului intreg. Cartea a VII-a dezvolta din nou, in primele propozitii, tema Cartii a V-a, teoria proportiilor, dar numai pentru cazul rapoartelor rationale si, in general vorbind, intr-o forma mai arhaica si mai putin riguroasa. Luata insa in ansamblu, Cartea studiaza intregul, pornind de la urmatoarele consideratii: fara nici o incercare de a demonstra afirmatia si fara nici un postulat explicit, se afirma ca numarul, fiind o marime, se bucura de proprietatile generale ale marimilor, si anume, in principal, de proprietatile de existenta, unicitate, comutativitate si asociativitate a sumei. Demonstratiile se vor baza pe aceste proprietati intuitive si pe caracterul discret al intregului. Acest caracter discret este exprimat prin doua axiome principale implicite: 1) unitatea este o masura (divizor) a oricarui numar si 2) inaintea unui numar dat exista doar o multime finita de numere intregi, cu alte cuvinte, orice multime de numere intregi poseda un cel mai mic element. Cea de-a doua axioma este esentiala pentru gasirea, cu ajutorul algoritmului lui Euclid, a celui mai mare divizor comun a doua numere. Acest algoritm, care este instrumentul de baza al teoriei elementare a numerelor, apare aici pentru prima data, in legatura cu simplificarea aproximativa a rapoartelor asa cum o practicau, in aceeasi epoca, Aristarh din Samos si Arhimede. El constituie si punctul de plecare al teoriei fractiilor continue, care vor incepe sa joace un rol de prim rang incepand din secolul al XVII-lea. Tot in Cartea a VII-a mai gasim o teorie a numerelor prime intre ele si a numerelor prime absolute, teorie care s-a pastrat pana azi in invatamantul elementar, intr-o forma aproape neschimbata. Urmeaza apoi o scurta teorie a celui mai mic multiplu comun. Cartea a VIII-a, mult mai omogena decat precedenta, este consacrata aproape in intregime numerelor intregi in progresie geometrica sau, intr-un alt limbaj, puterilor numere intregi ale fractiilor. Scopul ei este, in ultima analiza, sa stabileasca, intr-o forma generala, cazurile de rationalitate a radacinilor de ordinul n ale unui intreg sau ale unei fractii. Cartea a IX-a cuprinde, pe de o parte, propozitii vetuste despre par si impar, bazate pe rationamente foarte slabe, iar pe de alta parte, teoreme foarte subtile si foarte frumoase, cum este cea care stabileste existenta unei infinitati de numere prime absolute sau cea care construieste numerele perfecte euclidiene. IRATIONALELE. Cartea a X-a este cea mai ampla dintre toate: contine 114 propozitii! Lectura ei cere din partea matematicianului modern o pregatire solida si un curaj perseverent.. In schimb, studiul ei recompenseaza pe deplin efortul. Tema generala o constituie clasificarea scrupuloasa a primelor lungimi irationale, rezultate din metodele de aplicare (transformare) a ariilor, pornind de la o lungime luata drept unitate (ultimele cuvinte nu sunt insa pronuntate explicit). Un singur termen a supravietuit in limbajul nostru ca unica amintire a acestei oprere considerabile: cuvantul “binom”, dupa modelul caruia algebristii nostri au fasonat “trinomul” si “polinomul”. Unii au incercat sa atribuie aceasta carte lui Teetet, eroul Dialogului lui Platon. Dar daca mai multe dintre propozitiile cele mai simple pe care le contine pot fi atribuite secolului al IV-lea, cartea, in ansamblu, se prezinta totusi ca o opera de mare perseverenta, minutioasa, un pic greoaie, elaborata de un bun matematician. Autorul ei este o minte riguroasa, un matematician de profesie, care se inrudeste mai mult cu Apollonios decat cu Arhimede. Prima propozitie, care poate fi atribuita inca lui Eudoxos, formuleaza elementul de baza al metodelor de exhaustiune despre care vom vorbi mai tarziu. Iat-o: “Fiind date doua marimi neegale, daca din cea mai mare se scade una mai mare decat jumatatea ei, iar din cea ramasa una mai mare decat jumatatea ei, si aceasta se repeta continuu, va ramane o marime oarecare care va fi mai mica decat marimea cea mai mica considerata.” Urmatoarele trei propozitii folosesc algoritmul lui Euclid, fie pentru a gasi cea mai mare masura comuna, daca cele doua marimi sunt comensurabile, fie pentru a trage concluzia ca marimile sunt incomensurabile, daca algoritmul nu se sfarseste dupa un numar finit de pasi. Urmeaza apoi cateva propozitii generale despre marimi. Dupa aceasta parte, care este doar un fel de introducere, nu va mai fi vorba decat de segmente rectilinii. Masurile lor, pornind de la un segment unitate, ar fi reprezentate de noi prin expresii de forma , unde a si b sunt numere rationale. Euclid studiaza diferitele cazuri cand aceasta forma poate fi simplificata si deduce o clasificare a acestora. SPATIUL. O data cu Cartea a XI-a incepe geometria spatiului. Putinul care se cunoaste despre lucrarile lui Arhytas si Eudoxos lasa sa se creada ca aceasta carte rezuma cunostintele secolului al IV-lea in acest domeniu, cu cateva adaptari efectuate in secolul urmator. Dintre definitiile initiale, cele care se refera la sfera, con si cilindru fac apel la miscare. Generarea acestor corpuri se face prin rotirea, respectiv, a unui semicerc in jurul bazei, a unui triunghi dreptunghic in jurul uneia dintre laturile unghiului drept si a unui dreptunghi in jurul uneia dintre laturi. Astfel de consideratii cinematice, introduse aici, probabil, pentru a asigura continuitatea figurilor, erau evitate cu desavarsire in cartile de geometrie plana. Cele trei propozitii de la inceput, si anume: “Nu se poate ca o parte a unei linii drepte sa fie in planul de baza, iar o parte intr-unul mai ridicat”, “Daca doua drepte se taie, ele sunt intr-un plan, si orice triunghi este intr-un plan”, “Daca doua plane se taie, sectiunea lor comuna este o dreapta”, sunt demonstrate cu totul insuficient si de fapt sunt adevarate postulate. Insa cartea, in ansamblu – in care se studiaza notiunile de ortogonalitate si paralelism in cazul dreptelor si planelor, precum si volumele paralelipipedelor – este de inalta tinuta. Trebuie remarcata absenta totala a notiunii de orientare si a ideii inrudite de simetrie. Cartea a XII-a studiaza ariile cercurilor, precum si volumele piramidelor, conurilor, cilindrilor si sferelor. Aceste studii necesita folosirea procedeelor infinitezimale si, dupa marturia formala a lui Arhimede, ele vin de la Eudoxos. Propozitiile enuntate nu dau cvadratura acestor arii sau cubatura acestor solide, ei se multumesc sa dea numai rapoartele: “Cercurile sunt intre ele ca patratele diametrelor.” “Orice prisma avand baza triunghiulara se imparte in trei piramide egale intre ele avand baze triunghiulare.” “Sferele sunt intre ele in raportul cuburilor diametrelor.” Pentru a stabili echivalenta a doua volume, se arata ca primul nu este nici mai mic, nici mai mare decat cel de-al doilea. Tehnica demonstratiei se bazeaza pe ceea ce geometrii logicieni ai secolului al XVII-lea au numit exhaustiune, epuizare. Aceasta metoda, a carei utilizare este legitimata de prima propozitie a Cartii a X-a arata, in ultima analiza, ca diferenta dintre cele doua volume, daca ar exista, ar fi mai mica decat orice marime dinainte data. CORPURILE PLATONICE. Cartea a XIII-a, foarte frumoasa si foarte tehnica, este consacrata in intregime celor cinci poliedre regulate cunoscute de Platon. In secolul al II-lea i.e.n., Hipsicle a adaugat Elementelor o a XIV-a carte, care trateaza compararea dodecaedrului si icosaedrului inscrise intr-o aceeasi sfera. Dupa cum recunoaste autorul insusi in scrisoarea-prefata, tema aceasta fusese deja tratata de Aristeu si Apollonios. Bizantinii au mai adaugat o a XV-a carte, consacrata si ea tot corpurilor platonice. Ea este insa de un nivel foarte scazut. Una dintre cele doua parti care o compun pare sa fi fost scrisa in secolul al V-lea e.n., cealalta – intr-o epoca si mai recenta. LUCRARILE MINORE SAU PIERDUTE. Opera lui Euclid nu se limiteaza la Elemente. Catalogul scrierilor care ii sunt atribuite este mare. Unele dintre ele au ajuns pana la noi, altele au disparut complet sau partial. Dintre aceste scrieri cu caracter teoretic citam mai intai Datele, un fel de complement al Elementelor, dar cu o forma mai analitica. Lucrarea cuprinde 94 de propozitii. Primele stabilesc cateva proprietati ale marimilor proportionale sau “care au cresteri proportionale”, adica, in limbajul nostru, proprietatile functiilor liniare. Propozitiile urmatoare, cu caracter mai geometric, se refera la figurile asemenea, la aplicarea ariilor, adica la rezolvarea ecuatiilor de gradul al doilea, si la cerc. Lucrarea pastreaza inca un caracter foarte elementar. Nu acelasi lucru se poate afirma despre tratatul, astazi pierdut, despre porisme (Porismata). Pappus ne-a lasat o descriere destul de neclara. Pornind de la aceasta marturie, matematicienii moderni, in special Robert Simson si Chasles, au incercat reconstituiri care, ca toate lucrarile de acest gen, au un caracter foarte ipotetic. Se pare insa ca este destul de ferm stabilit ca in acest tratat pierdut, Euclid rezolva mai multe probleme care au oarecare afinitate cu geometria proiectiva si cu teoria transversalelor, asa cum le tratau matematicienii din prima jumatate a secolului trecut. In el figureaza, in particular, teorema lui Desargues cu privire la Triunghiurile omologice si teorema lui Pappus cu privire la hexagoanele inscrise intr-o conica degenerata in doua drepte. Incepand de pe la sfarsitul secolului al XIX-lea, aceste doua propozitii joaca un rol esential in geometria proiectiva. Vom mai mentiona, ceva mai departe, alte doua tratate pierdute: Conica (Conicele) si De locis ad superficiam (Despre locuri pe suprafata). Postulatul lui Euclid sau axioma paralelelor, Teorma, Definitii, Tranzitivitatea relatiei de paralelism in spatiu Paralelism in spatiu Postulatul lui Euclid sau axioma paralelelor. Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte trece o dreapta paralela cu ea si numai una. Teorema 1. Doua drepte paralele determina un plan. Definitie. O dreapta d poate sa nu aiba nici un punct comun cu planul α ( d ∩ α = Ø ). In acest caz, vom spune, ca dreapta este paralela cu planul α si notam: α || d sau d || α. 34721nss32ulz6y Teorema 2. O dreapta paralela cu o dreapta dintr-un plan α este paralela cu planul α ( sau continuta in el). Teorema 3. Daca o dreapta a este paralela cu un plan α, oricare plan β care contine aceasta dreapta si intersecteaza planul α, o face dupa o dreapta b paralela cu a. Teorema 4. Daca o dreapta a este paralela cu un plan α paralela la dreapta a dusa printr-un punct A, al planului α, este continuta in α. Lema de paralelism. Daca doua drepte paralele a si b sunt situate, respectiv in doua plane α si β care se intersecteaza dupa o dreapta c atunci c este paralela si cu a si b. sl721n4332ullz Teorema 5. Daca doua drepte distincte a si b sunt paralele cu a treia dreapta c, atunci dreptele a si b sunt paralele intre ele. (Tranzitivitatea relatiei de paralelism in spatiu). Teorema 6. Daca un plan contine doua drepte concurente paralele cu un alt plan, atunci cele doua plane sunt paralele. Teorema 7. Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente ( cand sunt amando-ua ascutite sau amandoua obtuze) sau suplementare ( cand unul din ele este ascutit, iar celalalt obtuz. Daca unul este drept, celalalt este asemenea drept. Teorema 8. Daca un plan intersecteaza doua plane paralele, intersectiile sunt drepte paralele. Teorema 9. Doua plane distincte paralele cu al treilea plan sunt paralele intre ele. Teorema 10. Doua plane paralele determina pe doua drepte paralele, pe care le intersecteaza, segmente congruente. Teorema 11. (Teorema lui Thales in spatiu). Mai multe plane paralele determina pe doua drepte oarecare, care le intersecteaza pe acestea in segmente respectiv proportionale. . Euclid |
|
Matematica Numar pagini: 7
|
Limite fundamentale |
| 2 tabele cu limitele si cazurile de exceptie. Limite, fundamentale, cazuri, exceptie | Limite fundamentale lim (1+ f(x)) 1/f(x)= e x-> x0dac? lim f(x)=+?? x-> x0lim xn/ax=0 x-> x0n ? N, a>1lim ln(1+f(x))/f(x)=1 x-> x0lim f(x)=0 x-> x0lim (af(x)-1)/f(x)=ln a x-> x0daca lim f(x)=0 x-> x0lim [(1+x)r-1)]/x=r x-> x0lim sin f(x) / f(x)=1 x-> x0daca lim f(x)=0 x-> x0lim (ef(x)-1)/f(x)=1 x->0daca lim f(x)=0 x-> x0 Cazuri de excep?ie 0/0 - lim de func?ii ra?ionale in puncte finite a... |
|
Matematica Numar pagini: 2
|
Formule alegebra |
|
Ecuatia de gradul doi
Functia de gradul doi Progresii aritmetice Progresii geometrice Numere complexe Elemente de combinatorica Formule de logaritmi Probabilitatea unui eveniment Legi de compozitie Relatiile lui Viete pentru ecuatia de gradul trei Relatiile lui Viete pentru ecuatia de gradul patru . Ecuatie, viete, functie, progresii, numre complexe, logaritmi, probabilitate |
|
Matematica Numar pagini: 4
|
Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu |
|
"Daca a,b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreapta unica perpendicualra atât pe a cât si pe b , care le întâlneste pe amândoua......."
teorie si problema cu rezolvare. Perpendiculara, comuna, doua, drepte, spatiu, geometri, problema, rezolvata |
|
Matematica Numar pagini: 5
|
Derivarea functiilor compuse |
|
Teorema
Observatii. Derivare, functii, compuse, teorema, observatii | In paragraful anterior s-a observat ca aplicand operatiile algebrice functiilor derivabile se obtin tot functii derivabile . In continoare vom intalni un alt mod de a genera functii derivabile . Fie I si j intervale de numere reale si functiile . Daca u este derivabila in punctual X0 I iar f este derivabila in punctual u (X0) = Y0 ,atunci functia compusa (y o u) : I ( R este derivabila in punctual X0 si are loc relatia : (f o) (X0) = f(u(X0)) u(X0) . Ut... |
|
Matematica Numar pagini: 1
|
25. A.D. Xenopol şi Nicolae Iorga |
|
"Născut în1847, la Iaşi, Xenopol face studiile se¬cundare în acelaşi oraş, apoi, în 1867, cu ajutorul unei burse acordată de Societatea „Junimea”, pleacă în Germania, la Berlin, unde urmează regulat prelegeri filosofice, juridice şi istorice. La istorie el audiaza pe Mommsen, Curtius, Ranke şi Gervinus, adică pe cei mai reputaţi istorici ai Germaniei din acea vreme. În 1871 îşi dă şi doctoratul în drept şi doctoratul în istorie. Întors în ţară, el este numit în acelaşi an procuror de secţie la Tribunalul din Iaşi, în 1876 fiind înaintat prim procuror la acelaşi tribunal. În 1878, Xenopol se retrage din magistratură din cauza unei neînţelegeri cu procurorul general, dedicându-se profesiunii de avocat, pentru ca, în 1883, să fie numit profesor de Istoria românilor la Universitatea din Iaşi.
Prin opera sa filosofică, Ale¬xandru Xenopol stabileşte contactul indiscutabil între filosofia românească şi cea străină. Istoric şi gânditor de reală valoare, ne-a dat una din cele mai de seamă cercetări a fundamentelor istoriei. Făcînd deose¬bire principială între structura teoretică a ştiinţelor istorice, Xenopol se apropie în concepţia sa de filosofii germani Windelband şi Rickert............." "Un alt istoric preocupat de teoria istoriei a fost Nicolae Iorga. El s-a născut la 1871 la Botoşani. De o uimitoare precocitate, înzestrat cu o memorie şi o putere de muncă rare, N. Iorga urmează cursul liceal în oraşul natal, apoi se înscrie la Universitatea din Iaşi, unde, la vîrsta de19 ani, îşi ia licenţa. Pleacă apoi în străinătate, îşi dă doctoratul la Universitatea din Leipzig iar la Paris îşi ia diploma la „Ecole de Hautes Etudes”. Întors în ţară, e profesor pentru puţin timp la liceul din Ploieşti, apoi reuşeşte la concursul pentru catedra de Istorie Univer¬sală de la Facultatea de Filosofie şi Litere de pe lângă Universitatea din Bucureşti. De acum înainte, N. Iorga desfăşoară o prodigioasă activitate. De la istorie propriu-zisă, sfera lui de acti¬vitate se extinde an de an la filosofia istoriei, impresii din călătorie, critică literară, la ziaristică, politică, versuri, artă dramatică, memorii. Membru al Academiei Române, membru corespondent al Insti¬tutului Franţei, al Academiei sârbe, polone şi suedeze, doctor honoris causa al mai multor universităţi străine, N. Iorga este personalitatea cu cea mai covârşitoare activitate pe care a produs-o poporul român............." BIBLIOGRAFIE 1. A.D. Xenopol, Scrieri sociale şi filosofice, Buc., Ed. Şt., 1967 2. Nicolae Iorga, Generalităţi cu privire la studiile istorice. Lecţii de deschidere şi cuvântări , Bucureşti, 1933 3. Bagdasar Nicolae, Scrieri, Buc., Ed. Eminescu, 1988 4. *** Istoria filosofiei româneşti, Buc., Ed. Academiei, Vol. I, ediţia a II-a, 1985 5. *** Dicţionarul operelor filozofice româneşti, Buc., Ed. Humanitas, 1997 . Filosofia, istoriei, sociala, xenopol, nicolae, iorga, alexandru, windelband, rickert, existenta, empirica, cunostinta, realitatii, reproducerea, intelectuala, univers, spatiu, timpul, forme a priori, sensibilitate, kant, proces, prefaceri, materie, suflet, fizica, chimia, astronomia, biologia, fiziologia, matematica, psihologia, logica, economia, politica, dreptul, sociologia, geologia, paleontologia, teoria descendentei, istoria, carol i, hohenzollern, traian, dacia, generalitatii cu privire la studiile istorice, lectii de deschidere si cuvantari, popor, umanitatea, trecut, tot, unitar, utilitate, istoriei, adevarul, cunoastere a lumii, bagdasar nicolae |
|
Istoria filosofiei româneşti Numar pagini: 5
|
Grafice de functii - teorie |
|
1. Funcţiile reale. Noţiuni introductive
2. Trasarea graficului unei funcţii OBSERVATII. Grafice, functii, teorie, reale, notiuni, introductive, trasare, grafic, observatii | Func?iile reale. No?iuni introductive Fie E ?i F dou? mul?imi. Spunem c? s-a definit o func?ie pe E cu valori ?n F dac? fiec?rui element x(E i s-a pus ?n coresponden?? un element y(F ?i numai unul. Se nume?te func?ie ansamblul format din mul?imile E ?i F ?i din coresponden?a de la elementele lui E la elementele lui F. Mul?imea E se nume?te domeniul de defini?ie al func?iei, iar mul?imea F se nume?te mul?imea ?n care func?ia ia valori (codomeniul). O func?ie se poate nota astfel: f:E?F. Un el... |
|
Matematica Numar pagini: 3
|
Functii continue |
|
Functii continue intr-un punct
DEFINITII OBSERVATII . Functii, continue, intr-un, punct, definitii, observatii | Fie f : D ( R o functie reala de argument real .In capitolul Limite de functiis-a studiat comportarea functiei in jurul unui punct de acumulare X0 D ,fara a fi luata in considerare valoarea functiei f in punctul X0 . DEFINITII Functia f se numeste continua in punctual X0 D ,daca pentru oricare sir (Xn) ,Xn D convergent la X0 ,sirul (f(Xn)) este convergent si lim.unde f(Xn) unde n ( ? = f(X0). Punctul X0 D se numeste punct de continuitate al functiei f ,daca f... |
|
Matematica Numar pagini: 1
|
Functii trigonometrice |
|
Functia sinus
PROPRIETATI Functia cosinus PROPRIETATI Functia tangenta PROPRIETATI Functia cotangenta PROPRIETATI . Functii, trigonometrice, functia, sinus, cosinus, tangenta, cotangenta, proprietati |
|
Matematica Numar pagini: 3
|
Elemente de Algebra Liniara |
| Formule matrici . Formule matrici | |
|
Matematica Numar pagini: 4
|
Rene Antoine Ferchault de Reamur |
|
Viata si opera
"Rene Antoine Ferchault de Reaumur s-a nascut la 28 februarie 1683, în localitatea La Rochelle. La început a studiat dreptul la Bourges, apoi, in 1703 s-a mutat la Paris, unde a studiat stiintele naturii, matematica şi fizica. La varsta de 25 de ani a devenit membru al Academiei de Stiinte din Paris si in cei aproape 50 de ani cat a fost membru activ al acesteia a fost de 12 ori director. La sesiunile Academiei a prezentat 75 de lucrari originale. Dupa ce a publicat cateva lucrari de matematica, Reaumur........" . Rene, antoine, ferchault, de, reaumur |
|
Fizica Numar pagini: 2
|
"matematica" rezultate au fost gasite 28
