Proprietati ale legilor de compozitie

Notiunea de lege de compozitie prezinta un mare grad de generaliate.
In definitia unei legi de compozitie ( pe o multime M se ignora atat natura elementelor multimii M cat si modul efectiv in care ( actioneaza pe M+M. Singura restricti pusa este ca ( sa asocieze la un cuplu ordonat (x, y) de elemente din M un element ((x, y) din M si numai unul. Din acest motiv studiul legilor de compozitie bazat doar pe definitia lor este foarte sarac in rezultate. S-a dovedit fertila ideea de a studia legi de compozitie ce au proprietati care pot fi semnalate in multe exemple concrete.

Asociativitatea

Vom presupune in continuare ca M este o multime nevida echipata cu o lege de compozitie ,,*’’,
Expresia x*y se citeste : x compus cu y sau x stea y.
Definitiile si rezultatele vor fi date folosind aceasta notatie urmand sa fie facute precizarile ce se impun si in alte notatii pentru legea de compozitie
Fie x,y,z apartinand lui M. Prezenta parantezelor in expresia (x*y)*z cere urmatoarea procedura de calcul: se afla intai compusul lui x cu y si apoi x*y se compune cu z, obtinandu-se in final elementul (x*y)*z care apartine lui M. Prezenta parantezelor in expresia x*(y*z) impune sa aflam intai y*z si sa-l compunem apoi cu x, obtinandu-se astfel elementul x*(y*z) care apartine lui M.
Definitie: O lege de compozitie M+M cu vaori in M, (x,y) cu valori in x*y se numeste asociativa daca:
(x*y)*z=x*(y*z), (() x,y,z apartinand lui M.
Daca legea de compozitie este data in notatie aditiva (multiplicativa) atunci proprietatea de asociativtate a acesteia se scrie:
(x+y)+z=x+(y+z)
respectiv
(x(y)(z=x((y(z) (() x,y,z apartinand lui M.
Exemple:
1.Adunare si inmultirea numerelor reale sunt legi de compozitie asociative pentru ca:
(x+y)+z=x+(y+z) si (x(y)(z=x((y(z).
2.Adunarea si inmultirea matricilor din M2(R) sunt legi de compozitie asociative, caci:
(A+B)+C=A+(B+C) si (AB)C=A(BC).
3.Reuniunea si intersectia partilor unei multimi E sunt legi de compozitie asociative, caci:
(XUY)UZ=XU(YUZ).
4.Compunerea functiilor unei multimi E in ea insasi este o lege de compozitie asociativa, caci:
(f*g)*h=f*(g*h).

Comutativitatea

Proprietatea de asociativitate largest mult aria posibilitatilor in perfectarea calcului algebric. O alta sursa in acest sens este data de legile de compozitie pentru care produsul a doua elemente oarecare este independent de ordinea in care se face compunerea acestora. Mai precis:
Definitie: O lege de compozitie M+M cu valori in M, (x, y) cu valori in x*y
se numeste comutativa, daca:
x*y=y*x, (() x,y ( M.
Adunarea si inmultirea numerelor reale,reuniunea si intersectia partilor unei multimi sunt legi de compozitie comutative.
 Numeroase legi de compozitie se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operatii pot prelua unele proprietati de la cele de plecare prin mecanismul dat chiar de definitia lor. Astfel comutativitatea adunariimatricelor din M2(R) este o consecinta a proprietatii de comutativitate a adunarii numerelor reale. Intradevar, daca A, B apartin lui M2(R), A=(aij), B=(bij), atunci:

Sa observam ca inmultirea matricilor din M2(R) nu este comutativa,cu toate ca inmultirea numerelor reale este c...