Postulatele si axiomele lui Euclid

Postulatele si axiomele lui Euclid


Primele trei postulate afirma :” Ca de la orice punct < se poate > duce o linie treapta “; “Si ca un segment de dreapta prelungi in mod continuu in linie dreapta”
“Si ca din orice centru si cu orice raza descris un cerc”.Aceste postulate presupun ca rigla si compasul sunt ideale, poseda o lungime sau o deschidere infinita, permit construirea dreptelor si cercurilor ideale. Al patrulea postulat enunta conditia de egalitate a tuturor unghiurilor drepte intre ele, propozitie ce nu mai este acum considerata postuata, ci se demonstreaza. Al cincilea postulat afirma: “Si daca dreapta ce cade pe doua drepte formeaza unghiurile interioare si de aceeasi parte, mai mici decat doua unghiuri drepte, prelunghite infinit se vor intalni de aceea parte in care unghiurile sunt mai mici decat doua unghiuri drepte. Sensul cel de-al cincilea postulat consta in faptul ca punctul de intersectie a doua drepte se considera construit daca intersectand cu o a treia dreapta unghiurile interne de aceeasi parte sau in suma de unghi mai mic decat doua unghiuri drepte. Acest postulat a capatat denumirea de postulatul paralelelorsi, dupa marturia lui Aristotel, se incercase demonstratia lui, sau a altuia echivalent, inca cu o suta de ani inaintea lui Euclid.
In aceste incercari se comitea insa eroarea logica petitio principi, folosind neexplicit o propozitie echivalenta cu cea care trebuie demonstrata, fapt asupra caruia a atras atentia Aristotel. Aceste incercari au mai continuat timp de doua milenii pana candgenialul matematician rus N.I. Lobacevski, a creat in 1826 teoria sa neelucidata, din care rezulta ca cel de-al cincilea postullat nu poate fi demonstrat.
Primele sase axiome, folosind notatia algebrica, pot fi exprimate astfel:
Daca AC si B=C; atunci A=B
Daca A=B; atunci A+C=B+C
Daca A=B; atunci A-C=B-C
4. Daca A ? B; atunci A+C ? B+C
Daca A=B; atunci 2A=2B
Daca A=B; atunci 1/2A=1/2B
Se intelege ca la Euclid ele erau exprimate prin cuvinte. Seau in vedere aici marimile geometrice-liniile, suprafetele si corpurile si nu numerele abstracte.Axioma a saptea afirma: “Si cele congruente sunt egale intre ele”, ceea ce Euclid intelegea in sensul ca, daca figurile coincid prin suprapunere, ele sunt egal de mari, adica au arii egale. Admitand aceasta axioma, Euclid a platit se pare tribut traditiei vechi, deoarece utilizarea suprapunerii se intalnea probabil la Thales. Platon, si Aristotel considerau insa ca “stiintelle matematice sunt straine miscarii”. Si desi Euclid insusi folosea miscarea (de ex. In definitia sferei, el cauta sa o evite ca fiind o abatere inconsecventa). Axioma a opta:”Si intregul este mai mare decat partile” si axioma a noua:”Si doua drepte nu inchid un spatiu intre ele”, au probabil o origine mai tarzie.



Teorema lui Pitagora

Invatatura pitagoreica care considera ca numerele intregi reprezinta masura tuturor lucrurilor s-a lovit de o contradictie insolubila, datorita descompunerii irationalitatii. Tocmai aceasta descoperire reprezinta insa cea mai insemnata contributie a pitagoreismului in matematica. In limba greaca, irationalitatea se exprima prin trei termeni: asimmetron cu semnificatia care nu are masura comuna; arreton, adica inexprimabil (prin nr. intregi) care se intalneste pentru prima data la Platon, si alogon- care inseamna ceea ce nu se exprima prin logos, adica prin raportul a doua n...